Funciones

Despacho múltiple

Entregable x (borrador)

x.1. Evaluación de polinomios por el método de Bernstein

En este ejercicio revisitamos el problema del cálculo de coeficientes de Bernstein del Ejercicio 3.2, generalizando el cálculo a múltiples dimensiones. Utilizamos multi-índices $i = (i_1, i_2, \ldots, i_n)$ para representar n-tuplas de números enteros no negativos (lo mismo con $l$). Sea $p: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ un polinomio multivariado (en $n$ variables). Dado un polinomio en su forma canónica (es decir en la base de potencias),

\[p(x) = \sum_{i=0}^l a_i x^i,\qquad x = (x_1, \ldots, x_n),\]

nos interesa expresarlo en una base diferente llamada la base de Bernstein. Gráficos de los polinomios de la base de Bernstein, $B_i^l(x)$, se pueden apreciar en la Figura 3.1 de Enclosure Methods for Systems of Polynomial Equations and Inequalities de A. P. Smith (2012). En este ejercicio se debe implementar la ecuación (3.13) en dicha tesis, es decir, aquella que permite encontrar los coeficientes de $p$ en la base de Bernstein,

\[p(x) = \sum_{i=0}^l b_i B_i^l(x),\]

donde $b_i$ son los coeficientes de Bernstein a determinar. Por conveniencia incluímos aquí la mencionada fórmula:

\[b_i = \sum_{j=0}^i \dfrac{\binom{i}{j}}{\binom{l}{j}}(\bar{x} - \underline{x})^j \sum_{k=j}^l \binom{k}{j}\underline{x}^{k-j}a_k,\qquad 0 \leq i \leq l.\]

Sea $X = [\underline{x}_1, \bar{x}_1] \times \cdots \times [\underline{x}_n, \bar{x}_n] := [\underline{x}, \bar{x}]$ un dominio rectangular ("caja").

Implementar una función bernstein_coefficients(pol, X) que recibe un polinomio definido en el paquete DynamicPolynomials.jl y devuelve los coeficientes de Bernstein ($b_i$) asociados de grado $l$ (para $l$ suficientemente grande) en el dominio $X$.

x.2. Pretty printing

Considerar nuevamente el ejercicio 2.2 Traducción de ARN e implementar las funciones necesarias para que las cadenas proteicas se impriman de manera más sencilla pero sin modificar el struct.

Ejemplos:

julia> traducir(ARN("CCU"))
CadenaProteica("Pro")

julia> traducir(ARN("AUGCCAAAGGGUUGA"))
CadenaProteica("MetProLysGly")

julia> traducir(ARN("GCAAGAGAUAAUUGU"))
CadenaProteica("AlaArgAspAsnCys")